東北大学編入　tyakanobuの編入体験記

東北大学工学部編入学試験体験記

平成30年度東北大学工学部編入学試験数学解答

こんにちは！ちゃかのぶです！

今回から平成30年度の東北大学工学部編入学試験の解説をしていきます．

前回はこちら↓

tyakanobu.hatenablog.com

大問Ⅰ
問題Ⅱ
- 問１
- 問２
- 問３
- 問４
問題Ⅲ
まとめ

大問Ⅰ

問１

$\cos(\alpha + \beta)$ を出現させるため，オイラーの公式の $\theta$ に $\alpha + \beta$ を代入してみます．

$e^{i(\alpha + \beta)}$ は次の二通りに計算できます．

そのままオイラーの公式を用いる
$e^{i(\alpha + \beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}$ と分解してからオイラーの公式を用いる

この二通りで計算した式はどちらも等しいのでイコールで結んで比較すると加法定理が得られます．

問２（a）

$\cos^2{x}-\sin^2{x}$ は二倍角の公式を使うことで $cos{2x}$ に変形できます．

f(x)=0を解きたい場合，できるだけ関数の積になるように変形してあげるとスムーズにいくことが多いです．

解答に書いたように，まずは $2x=\frac{\pi}{2}$ などのようにcosが０になる角度をイコールでつないでからxを求めた方が間違いがありません．

この計算を丁寧にやってみます．まず $2x=\theta$ とおきます．そうすると $0 \leq x \leq \pi$ より $0 \leq 2x \leq 2\pi$ なので， $\theta$ の定義域は $0 \leq \theta \leq 2\pi$ になります．

$\cos{2x}=\cos{\theta}=0$ の解は $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ ですから， $\theta = 2x$ よりxは $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ になります．

慣れてきたら置換なしで計算してみてください！

問２（b）

$f'(x)$ を計算していくと， $\cos{2x}-\sin{2x}$ という形が出てくると思います．

三角関数の和，差はそのままでは $f'(x)=0$ が計算しにくいので，三角関数の積和の公式，または合成公式を用います．cosとsinの和，差の場合は合成公式を使います．

sinで合成しても，cosで合成してもokです．

また，この場合は $f''(x)$ も計算できるので計算しておきましょう．

極値をとる点のxを $f''(x)$ に代入してみて０でなければ $f'(x)$ の符号だけ考えればokです．

$f''(x)=0$ になる場合は鞍点の可能性があるので注意する必要があります...

問２（c）

$f(x)=k$ を満たす点のx座標が実数解になります．

$f(x)=k$ を満たす点とはつまり $y=f(x)$ と $y=k$ の交点のことですから，増減表をもとに図を書いてみて， $y=k$ の直線を上下に動かしてみて交点を数えてみましょう．

実数解なしの場合を含めるのを忘れないでください！

問題Ⅱ

問１

点Pの座標はx，y，zにの値を代入するだけです．

接線ベクトルはベクトル解析の分野になりますが，x(t)，y(t)，z(t)を成分とするベクトル $\mathbf{x}$ をtで微分したものが接戦ベクトルになります．ベクトルの微分は簡単で，各成分をtで微分するだけになります．

問２

直線の方程式を作るには，通る点の座標と方向ベクトルが必要です．

任意の点Pの座標は媒介変数tの式で与えられているのでそのまま使います．

また，問１で使った接線ベクトルがそのまま接線の方向ベクトルになるので， $\frac{d\mathbf{x}}{dt}$ が方向ベクトルになります．

問３

突然ですが，平面上を円運動している質点を真横から見ると単振動しているように見えるのを思い出してください．以下の説明を理解しやすくなると思います．

平面はある方向から見れば直線に見えるので，曲線Cもある方向から見れば直線に見えることを示せば平面上にあることを示せると考えました．

直線は傾きが定数である図形ですから，曲線Cの式から考察するとy(t)とz(t)に目がいきます．

そこで $\frac{dz(t)}{dy(t)}$ を計算してみると， $-a=定数$ になります．

これはyz平面内で（＝x軸に沿った方向から見ると）曲線Cは傾き $-a$ の直線に見えることを意味しています．

以下にwxmaximaで描いた曲線Cの図を示します．

f:id:tyakanobu:20210311215541j:plain — 図１　曲線C（a=1）

f:id:tyakanobu:20210311215545j:plain — 図２　曲線C（a=1）をx軸方向から見たとき

図２の左下の中点入りの円は画面奥から手前にx軸が伸びていることを意味します．

例としてa=1としました．このため図２のようにx軸に沿って曲線Cを見ると傾き-１の直線になっていることが分かります．

wxmaximaに次のコマンドを入力しShift＋Enterを押すと図１のような図が書けます．

plot3d([s*cos(t),s*sin(t),-1*s*sin(t)],[s,1,1.000000000000001],[t,0,2*%pi]);

媒介変数で表された関数の立体図形を描くのにどうしても媒介変数を２種類入力しないといけなかったので，媒介変数ｓをそれぞれに掛けました．sの範囲は限界まで小さくしました(笑)．

問題に戻ります．曲線Cは平面上にあることが分かったので，曲線Cの接線ベクトルと平面の単位法線ベクトルは互いに垂直です．

そこで，内積の定義から $\mathbf{n}\cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt}=0$ が成立します．

$\mathbf{n}$ の成分はとりあえず文字で置きます．このとき $\mathbf{n}$ は単位法線ベクトルなので，各成分の２乗の和が１に等しいとします．

$\mathbf{n}\cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt}$ を計算していくと $\alpha (-a \sin{t}) + (\beta - a \gamma)\cos{t}=0$ という式が現れます．

ここで両辺を比較しますが，この場合は係数＝０しかあり得ません．

解を各成分の２乗の和が１に等しいという条件式に代入してやると，ようやく単位法線ベクトルの成分が得られます．

そして最後に，曲線Cが通る点（問１で求めた点Pの座標，どちらでも良いです）を使って平面の方程式を作ります！

問４

ここでまた曲線Cの式に注目すると，公式 $\cos^2{x}+\sin^2{x}=1$ が使えそうな形があることに気づきます．

$x(t)^2+z(t)^2=a^2(\cos^2{t}+\sin^2{t})=a^2$ です．

この式は任意のyについて成立するので，z軸を中心軸とする円筒を表します．

したがってxz平面上では半径aの円になります．

問題Ⅲ

全て計算問題のため解説は省略します．

まとめ

平成30年の数学は問題Ⅱの問３が一番厄介でした．解説もかなり長くなってしまいました...

次回は物理になります！最後まで見ていただきありがとうございました！